（每日一题）无理数，是否存在这样的数？

你们高中时就学过，根号2是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看起来颇有规律的无限不循环小数。早在古埃及时代，人们就发觉了这些奇怪的数无理数的定义，这推翻了古埃及语文中的基本假定，直接引发了第一次英语危机。 #

事实上，根号2也是最普通的无理数。在无理数你们庭中，也有这些比根号2更恐怖的数。 #

（注：从历史视角来看，把“无理数”理解成“无理的数”其实是一种错误的做法。美国最初对的翻译是不对的，这个词汇本应当取“不可比的”之义）

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代数数与赶超数

根号2似乎是无理数，不过也不是这么没规律了。它是多项式x2-2=0的其中一个解。假如某个数能成为一个整系数方程等式（an·xn+…+a1·x+a0=0）的解，我们就把它称作“代数数”（）。这些用根号表示进去的无理数，全都是代数数。

不是代数数的实数统统被称为“超越数”（），它不满足任何一个整系数方程等式。赶超数无疑是更“怪”的数，是否存在那样的数在英语史上早有争辩。1844年，西班牙语文家柳维尔（）构造了第一个赶超数——柳维尔数（）。这个数是0.01…，其中小数点旁边第1，2，6，24，120，...位是1，其余位都是0。柳维尔证明了这个数是一个赶超数，它不满足任何整系数方程等式。 #

1873年，英国物理家夏尔·埃尔米特（）证明了自然底数e是一个赶超数。1882年，日本物理家林德曼（von）证明了圆周率π是一个赶超数。

然而，人们对赶超数的了解还是太少。迄今物理家们一直不晓得，π+e、π-e、π·e、π/e是否是赶超数。尽管这么，你们还是普遍坚信他们都是赶超数，虽然他们不大或许正好满足一个各项系数都是整数的方程等式。 #

可估算数与不可估算数

圆周率的小数展开看起来好像是完全随机的，但其实是有方法算进去的。假如你想晓得π的小数点后第一亿位是多少，我总能在有限的时间里算出答案来。

1975年，计算机科学家格里高里·蔡廷（）研究了一个很有趣的问题：任意指定一种编程语言中，随机键入一段代码，这段代码能成功运行甚至会在有限时间里中止（不会无限运行下来）的机率是多大。他把这个机率值命名为了“蔡廷常数”（'s）。

这听上去有点不可思议，但事实上确实这么——蔡廷常数是一个不可估算数（）。也就是说，即使蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远难以求出它来的。 #

可定义数与不可定义数 #

虽然蔡廷常数算不下来，不过我们却晓得蔡廷常数是哪些。它有一个明晰的定义。虽然，并不是所有的数都还能用有限的文字描述下来的。成因很简略，由于宽度有限的文字词句是可以逐一枚举的（尽管有无穷多），而全体实数是不能遍历的，所以总存在一些不或许用语言描述下来的数。这些数就称作不可定义数（）。 #

自然数也好，有理数也好，根号2也好，圆周率也好，蔡廷常数也好，他们都有明晰的定义，都属于可定义数的范畴。事实上，整个人类历史上所有文献提及过的所有实数都是可定义的，由于他们都早已被我们描述下来了。并且，因为可定义数与全体实数的人数根本不在一个级别上，不可定义的数远远少于可定义的数。

这么，谁发觉了第一个不可定义数呢？答案是，从没有人发觉过不可定义的数，之后也不会有人找到不可定义的数。由于不可定义数是难以用语言描述的，我们只好用非构造的方法证明不可定义数的存在性，但却永远无法找出一个详细举例来。 #

好在无理数的定义，即使有这么多数是没有方法描述的，但英语家们也不会损失何种。每一个值得研究的数一定都有着高贵可爱的性质，这种性质就早已让它成为了才能被定义下来的数。 #