知乎回答：分段函数与初等函数的关系及相关问题解析

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这部分有点题外，但我认为如果你是大一或大二学生，你可能更需要这部分。

ps：关于分段函数是否为初等函数的问题，原则上，很多分段函数都是初等函数，但是如果这样考虑可微分性和连续性，分类就很困难了（往下看你就会感觉到）分段函数是初等函数吗，所以这里就把它扔到非初等函数里去了。这是为了使“初等函数在定义域内处处连续可微分”是正确的，而微分和连续性的问题就可以简单明了得多。当然，如果考试问到概念，记得带回来。 #

PPS：关于初等函数相对于其他函数来说“初等”的问题，知乎上有一个回答，我也在知乎上看了。大致意思是初等函数不等同于高级函数，而是过去数学家为了规范学术环境而提出的概念。据说过去数学家定义了很多很多函数，大家写论文、开会的时候，不知道读者、听众有没有学过他们的定义，学的是不是跟自己一样的版本、一样的符号，讨论的时候总是争论不休。大佬们觉得这样不行，就坐下来开会，把函数分为初等函数和非初等函数。前者是默认的数学常识，看论文、开会的人肯定都知道，而且符号固定，大家都用统一的格式。后者是默认的个性化，看论文、开会的人都不会知道，所以不管谁用非初等函数，最后都要附上定义。

---------- 初等函数（定义域内连续且可微）六个+未知数类型：常数、幂（幂的反函数仍为幂）、指数、三角、（指数的反函数）对数、（三角的反函数）反三角+它们的有限个复合函数或四则运算（复合函数如（3x^3）带符号，函数四则运算如（e^x）/（x^3）英语作文，x不等于0） #

ps:有一种“初等函数”你以为它不是，但实际上它是，例如x^x。 #

（工程微积分教材范围内）非初等函数有五种类型： 1. 一种是可以看作“初等函数+分离点”的分段函数，比如绝对值函数，整数函数，符号函数，电压函数...甚至是自己定义的分段函数（因为正常人不太可能想到下面三种情况）。 2. 一种是分段的，不能看作 1. 比如在讲函数的周期性时，就用狄利克雷函数。比如在讲信号系统中傅里叶级数的收敛条件时（另一门课程），例子是这样的： #

（我不知道你的意思，但是作者奥本海姆也说了，这种情况在自然界中很少见，所以这种情况下傅里叶级数不收敛并不影响傅里叶级数在任何地方都可以使用的事实。）

3 一类是初等函数的积分（初等函数的定义域中必须有一个原函数）。积分是个很无赖的操作，很多时候会变成非初等函数。用了分部公式和代换变量这三个技巧之后还不能积分的积分都是非初等函数，比如在讲二重积分极坐标计算时，e^(-x^2)的积分的例子。 4 一类是作为方程的解出现的函数，比如勒让德函数、贝塞尔函数，这些在电磁场学生眼里并不算出名（虽然我们从小解过无数次方程，但一般都是没有初等函数解的，有的话才出乎意料）。 #

ps:有一种“非初等函数”你以为它不是，但实际上它是的分段函数是初等函数吗，比如sinx，你把定义域定义为0到2的一个闭区间，这其实就是分段函数，因为本质上你盲目地定义了一个f(x)：当x2时，f(x)=0。 #

- - - - -然后回答问题 #

楼主说的是“对于初等函数，连续但不可微”，不好意思，只要把所有分段函数扔到非初等函数里，初等函数在“定义域”上处处连续可微（有导数为无穷大的点，但是这并不影响高阶导数，在这一点上洛必达和泰勒依然可以用），不用担心可微不一定连续的问题（这本质上是因为微分真的是一种武术操作，不像积分，那是流氓操作）。ps：初等函数在没有定义的地方既不连续也不可微，比如(1/x)sin(1/x)，x不等于0，x=0是振荡不连续点（可以试着在x=0附近画个图【狗头】），但即便有这种异常，在定义域上也是连续可微的！ #

楼主提到了“对于非初等函数，连续但不可微的情况”。在工程类高等数学教材的范围内只有两种情况：1. 一种是分段函数，可以看作是“初等函数+一个单点”，你可以让它连续，但是在定义域的分界面，左右导数不存在或者不相等，所以会不可微（所以有“连续不一定可微”的说法）。2. 一种是函数项无限级数（级数和）。比如上面提到的著名函数（其实我点开这个问题之前并不知道魏尔斯特拉斯函数），就可以看作是函数项无限级数。ps：无限初等函数的和不一定是初等函数（也可以是，比如几何级数）。 如果函数项级数的通项是初等函数，恰好处处收敛，而且它的导数也是初等函数，但是导数不收敛，那么就能满足楼主的要求。 #

--------没有了！反正我没找到！如果还有，那肯定是数学学院学生的事了。别听信了。

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