矩阵等价、合同、相似的条件及关系解析

矩阵 A 和 B 必须满足两个条件才能相等：

（1）矩阵A和B必须是同一类型（不要求是方阵）；

(2) 存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使得B=PAQ。 #

2. 矩阵A和B合约

必须同时满足两个条件： #

(1) 矩阵A和B不仅是同类型矩阵，而且是方阵； #

(2) 存在一个n阶矩阵P:P^TAP= B。

3. 矩阵A和B相似 #

必须同时满足两个条件： #

(1) 矩阵A和B不仅是同类型矩阵，而且还是方阵； #

(2) 存在一个n阶可逆矩阵P矩阵等价的充要条件，使得P^-1AP=B。

#

扩展信息 #

矩阵的相似性 事实上，两个相似的矩阵描述了相同的线性变换，只是用不同基数的坐标来表示。相似的矩阵具有相同的特征值和秩，相应的方阵行列式也相同。 #

判断两个矩阵是否相似，一般题型是看两个矩阵是否相似于同一个对角矩阵。同时，两个矩阵相似，相应的以矩阵为变量的两个函数也相似。

#

矩阵的契约是在二次形式的背景下提出的。要理解合约矩阵等价的充要条件，就要关注二次形式的对称矩阵。给定一个二次形式，我们可以将其写为矩阵表达式并执行一系列可逆变换。新得到的代表二次形式的A矩阵是与原矩阵一致的新矩阵。

#

对称矩阵的两个矩阵之间契约的一个重要条件是正负惯性指数相同，即正特征值的个数和负特征值的个数相同。

#

矩阵是否相似与是否存在契约没有直接关系，但在我们的考试中，一般都会考察对称矩阵。在对称矩阵的前提下，相似矩阵必然有契约，但契约不一定相似。相似性要求特征值相同，而合约只要求特征值的正反特征相同。

#