“为什么1的后面是2？”——自然数集的定义

其实这个问题就是自然数集合的定义。 什么样的集合称为自然数集合？ 让我们首先回顾一下算术的起源。 早在远古时代，人们就用结来表示事物的数量。 彩陶上绘制了大量的直线、三角形、圆形、正方形、菱形、五边形、六边形等对称图案。 在房屋遗址的基础上还发现了几何图形，这表明古人已经在一定程度上有了数字和形状的概念。 当时，人们对自然数还没有准确的定义，只是在日常生活中形成简单的概念，1+1=2、2+1=3…… #

然而，随着代数、数论、集合论等学科的发展，人们迫切需要自然数集合的标准化定义。 欧几里得的五个公理奠定了欧几里得几何的基础，现在数学家也需要这几个公理来奠定代数的基础。 可以说自然数的概念，这是一个对世间万物进行编号的过程。 1889年，意大利数学家皮亚诺（1858-1932）在数学家戴德金工作的基础上，在其著作《新方法中陈述的算术原理》中提出了算术公理系统。 这个公理系统共有九条公理，其中四条是关于“相等”的自然数的概念，其中五条描述数字，并使用1而不是0作为基本概念。 在后来的著作中，皮亚诺对这个算术系统进行了修改，去掉了关于“相等”的四个公理，并以0代替1作为基本概念，构建了至今仍在使用的皮亚诺算术公理系统。

皮亚诺 #

皮亚诺的公理也由五个陈述组成。

#

Ⅰ、0为自然数；

#

二. 每个确定的自然数都有一个确定的后继，后继也是一个自然数（数a的后继数a'是紧跟在这个数之后的整数（a+1）。例如：1'=2, 2' =3等）； #

然而，仅靠这两个公理还不足以完全描述自然数，因为满足这两个公理的系统可能不是自然数系统。 例如，在数字系统 0, 1 中，1 的后继是 0。这与我们对自然数字系统的期望不符，自然数字系统只包含有限数量的数字。 因此，我们需要对自然数做一些限制：

#

三． 0 不是任何自然数的后继； #

然而，这里的漏洞却很难防备。 这时候就不能排除下面的反例：数系0,1,2,3，其中3的后继是3。看来我们设定的公理不够严格，还需要再加一个。

四． 不同的自然数有不同的后继数。 如果两个自然数的后继数相等，则它们是同一个数； #

最后，为了排除一些自然数中不应该存在的数字（比如0.3），我们加上最后一个公理。 #

Ⅴ. 如果S是包含自然数的集合（S包含0），并且S中所有整数的后继数也在S中，则S包含所有自然数。 （该公理又称为归纳公理，保证了数学归纳法的正确性）

#

这个公理并不那么简单。 它规定自然数应具有相同的性质，也为严格规定运算定律奠定了基础。

#

至此，皮亚诺的算术公理已经形成，数学家们在自然数的基础上发展了各种数系，为现代数学的发展做出了巨大的贡献。 同时，这种公理化的方法也启发了后人，体现了自然科学的严谨性。