利用直线方向向量数量积证明垂直及斜率相关知识

若直线AB的方向向量为（x2-x1,y2-y1,z2-z1），直线CD的方向向量为（x4-x3,y4-y3,z4-z3），则只需证明这两个向量的点积等于0，即（x2-x1）(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)=0。若两条直线相互垂直，则它们的斜率相乘的结果应为-1。

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设l：直线方程为y=kx+b，其中k代表斜率，斜率在几何上表示直线与x轴正方向所形成的倾斜角的正切值。以y=x+b为例，当倾斜角为45°时，斜率k等于tan45°，其值为1。 #

b代表的是纵截距，也就是直线与y轴相交点的y坐标值。显而易见，这一点与两条直线是否垂直并无直接关联。

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楼主的年级应该是初三吧？顺便补充一下，正切函数在90度加a的角度上的值等于负的正切a。因此，之前的结论可能更容易被理解。在讨论如何描述三维空间中的一条直线之前，我们首先需要回顾一下如何确定二维平面上的直线。

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我们借鉴了笛卡尔的思路，将直线置于空间直角坐标系之中，使得每一条直线上的每一个点都能与一个x坐标和一个y坐标相对应，从而实现了几何图形与代数数字之间的关联。这种方法，即通过直线的方程式来实现。 #

二维平面的直线有如下几种：

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点斜式 #

斜截式

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两点式 #

截距式 #

这些描述方式均具备一个共性：它们均通过采用能够唯一确定一条直线的原则来进行直线的描述。例如，通过一个点与直线的斜率来定义，亦或是通过两个点来表示（值得一提的是空间向量垂直公式，斜截式与截距式可以被视为点斜式与两点式的特例形式）。 #

在三维空间中，“斜率”这一概念相对难以明确界定。然而，我们可以转换一下思考方式。实际上，斜率可以被视为二维空间中类似“方向”的概念，因为我们可以通过直线与x轴的夹角正切值来表示它。同样地，我们也可以通过一个方向向量来描述向量的平行关系。 #

若点M（x_0,y_0,z_0）位于该直线上，我们能够确定一个与该直线平行的向量，即方向向量A=（m,n,p）。基于此，我们可以对该直线进行如下描述： #

(x-x_0)/m=(y-y_0)/n=(z-z_0)/p

这样，我们就完成了用一种方法描述。

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若你对两点式尚有印象，那么你应当知晓两点式通过两个点来展示直线的斜率，并且通过一个点来构建点斜式。在三维空间中，直线的表示方法可以参照此方法，即通过两个点的差来得到方向向量，再选取一个点来形成点斜式。这一过程此处不再详细阐述。

在空间中，每一条直线均可被视为某个特定平面的交界线。基于此，我们能够通过联立两个平面方程来描述这条直线。 #

{$Ax_1+By_1+Cz_1+D_1=0$

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$Ax_2+By_2+Cz_2+D_2=0$}

第三，我们还可以用参数方程描述。 #

在二维空间内，该几何图形的规范参数式可表示为：x坐标等于初始值x_0加上角度φ与时间t的余弦函数乘积；y坐标等于初始值y_0加上角度φ与时间t的正弦函数乘积。 #

从第一个表示方法即方向向量和定点的表示方法，我们可以写出： #

该比值等于（x与x_0之差）除以m空间向量垂直公式，（y与y_0之差）除以n，（z与z_0之差）除以p，且等于t。 #

其中，t是一个变量。

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那么，参数方程就可以写成 #

{x=x_0+mt

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y=y_0+nt

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z=z_0+pt}