高考数学复习：对数函数定义域与值域的求解方法

求对数函数的值域就困难得多。对数函数最大的特点就是要么是增函数，要么是减函数。换句话说，对数函数是单调函数。求值域的一般步骤是先确定真值的范围，然后根据单调性或图像求出函数值的范围，即值域。 #

问题 1

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首先求函数定义域，x 是实数，所以所有的 x 一定大于 0，见①；其次，以 1/3 为底的对数也是实数，所以也一定大于 0，见②；然后解这两个不等式，求交点。不等式 ② 的解法你一定很熟悉。下面列出两种解法。解法 1 是先用实数 1 表示 0，然后根据以 1/3 为底的单调递减对数求出 x 的范围。这个解法是常规解法；我更喜欢使用解法 2，也就是最后一行给出的推荐解法。 #

问题2

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首先，x+1是实数，所以应该大于0英语作文，见①；对数在平方根之内，也是分母，所以对数一定大于0。解对数不等式可以求出x的范围。从本题计算过程可以看出，如果熟练掌握对数计算，第一步，即①，可以省略。 #

问题 3

求对数函数的值域一般分为两步，第一步是求实数的值域，如下式①所示；第二步是根据对数函数的图形或单调性求值域。现在我们把整个实数部分u作为自变量来求值域。容易发现，当实数u∈[1,＋∞)时，函数值f(u)∈(－∞,0]即为所求值域。 #

问题 4 #

解答：和上一题一样，分为两步。第一步：求出实数x+1的范围，即（0，+∞）。这里解释一下。有的同学可能会疑惑，x+1不可以是任意实数吗？没错，但是它恰好在对数的实部，所以只能是大于0的实数；第二步：根据对数的图形或者单调性求出范围，很容易得出范围为（-∞，+∞）。

更快的解法：f(x)的图形是将以1/3为底、x为实数的对数函数的图形沿x轴平移得到的，平移前后值域不变，所以值域为(-∞, +∞)。 #

问题 5 #

因为x-2可以取任意大于0的实数，所以公式①可以取任意实数，但是是在对数的实部求函数定义域，所以像x-2一样，取值范围应该是（0，+∞），求得实数的取值范围，根据图可以算出取值范围。 #

问题 6

请仔细理解本题与上一题的区别。从这道题中我们可以看出，求对数的范围最重要的任务是确定真数的范围。一旦你理解了这一点，求对数的范围对你来说就不再是问题了。 #

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